Задачи с параметрами в едином государственном экзамене по математике

  • Конашенко Андрей Владимирович, доцент кафедры математического анализа
  • Шерстнёва Наталья Александровна, доцент кафедры математического анализа

Единый государственный экзамен по математике давно и прочно вошёл в практику общеобразовательных учреждений. Сегодня он является обязательной частью итоговых испытаний школьников за курс средней школы. Поэтому умение решать задачи, предлагаемые на ЕГЭ – это актуальная потребность современных выпускников и будущих абитуриентов ВУЗов. Особый интерес представляют собой задачи с параметрами, включающиеся в задания С5 экзаменационной работы и требующие нестандартного подхода, вариативности и гибкости мышления. Весьма полезным, на наш взгляд, является знание учащимися разнообразных способов решения таких заданий и умение выбрать из них наиболее оптимальный и рациональный подход. Проиллюстрируем возможные методы решений задач с параметрами на конкретных примерах.

Пример 1 [2].Найти все значения параметра а, при которых система  имеет хотя бы одно решение, и найти эти решения.

Решение.

Преобразуем первое уравнение: .

Наименьшее значение выражения, стоящего в правой части равно 169. Если удастся доказать, что наибольшее значение левой части тоже 169, то задача будет решена. Тогда . Как это можно доказать?

Во-первых, можно найти условный экстремум функции двух переменных f(x, y)=2x+3y, используя второе уравнение системы в качестве уравнения связи. Но для этого надо знать основы дифференциального исчисления функций нескольких переменных, что не входит в школьный курс алгебры и начал анализа.

Во-вторых, можно выразить из второго уравнения одну из переменных (например, ), подставить в выражение 2х+3у и исследовать полученную функцию одной переменной стандартным образом.

Первый случай .

Найдем критические точки:

 =0 .

Второй случай дает симметричный результат .

Далее, рассмотрев значения f(x) в точках , получаем, что — наибольшее значение функции.

Таким образом, получаем ответ:

Наконец, возможен более красивый путь решения.

Преобразуем .

Видим, что , а в силу второго уравнения и .

Тогда можно представить полученные дроби в виде тригонометрических функций:

Тогда , а .

Таким образом, наибольшее значение выражения в левой части первого уравнения равно 169, что и требовалось получить.

Ответ: .

Пример 2 [2]. При каких значениях параметра а система  имеет единственное решение?

Решение.

Прежде всего, заметим, что если выразить из второго уравнения у и подставить результат в первое уравнение, то получим четную функцию относительно аргумента х. Как известно, эта функция может иметь нечетное количество нулей, только если один их этих нулей х=0. Тогда

Теперь надо проверить, что функция имеет не просто нечетное число нулей, а именно один единственный нуль. В случае  система примет вид:  и при ; получаем еще два корня, значит это значение параметра не удовлетворяет условию задачи. Если ; то . Если , то . Если корней не будет при , то в силу четности их не будет и при . При  функция в левой части равенства монотонно возрастает. При  , а  других корней нет.

Ответ: .

Пример 3 [1]. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение  имеет шесть корней.

Решение.

Чтобы данное уравнение имело шесть корней, квадратное уравнение ; где , должно иметь два корня, причём корни эти должны быть положительные и различные. Это условие будет выполнено, если

.

Но это еще не все. При каждом из этих положительных  кубическое уравнение  должно иметь именно три различных корня. Рассмотрим функцию . . . Функция имеет максимум в точке (0; 4) и минимум в точке (2; 0) (рисунок 1).

Рис. 1

Кубическое уравнение будет иметь ровно три корня, если значение функции  попадет в промежуток , тогда . Получили ограничение на корни квадратного относительно  уравнения.

Поскольку ветви параболы  направлены вверх, то для того, чтобы корни находились внутри данного интервала достаточно условия, чтобы эти корни вообще были (это учтено выше), чтоб вершина параболы лежала внутри интервала, и значения функции на концах интервала были положительны. Получаем:

.

Замечание. Последний этап решения (попадание корней квадратного уравнения  в интервал ) можно провести прямым аналитическим методом. Найти корни ,  и потребовать выполнения системы . Решение этой системы довольно громоздко, но приводит к тому же самому результату .

Ответ: .

Пример 4 [3]. Найти значения параметра с, при каждом из которых неравенство имеет максимальное количество целых решений.

Решение.

Сначала определим, какие целые значения х могут быть решениями неравенства. Это можно сделать двумя способами.

Первый способ. Построим на плоскости (х; с) область, все точки которой удовлетворяют неравенству (рисунок 2).

  1. .
  2. .

Рис. 2

Из чертежа видим, что подходят только х=0, 1, 2, 3, 4.

Второй способ. Переписав неравенство в виде , построим на плоскости (х, у) график левой и правой частей (рисунок 3). Откуда получаем тот же результат.

Рис. 3

Далее, подставим последовательно в неравенство все возможные целые значения х=0, 1, 2, 3, 4 и получим для каждого из них множество значений с.

  1. .
  2.   .
  3.                .
  4.    .
  5. .

Затем изобразим друг под другом 5 осей с и отметим полученные множества (рисунок 4).

Рис. 4

Из рисунка видно, что максимальное количество целых решений это 3, оно достигается при с = – 4 или .

Ответ: .

Пример 5 [2]. Найдите значения параметраb, при каждом из которых для любого а неравенство  имеет хотя бы одно целочисленное решение (х,у).

Решение.

Область решений данного неравенства будет открытым кругом радиуса . Можно заметить, что эта величина равна половине диагонали квадрата с вершинами в соседних точках с целочисленными координатами. На рисунке 5 показано единственное положение круга, при котором ни одна точка с целочисленными координатами не попадает внутрь круга.

Рис. 5

При параллельном переносе этого круга на сколь угодно малую величину хотя бы одна такая точка обязательно попадает внутрь круга. Если центр круга (точка ) находится, как показано на рисунке, ровно посередине между двумя соседними точками с целочисленными координатами, то верны равенства:  где – целочисленные координаты произвольно взятой точки.

Получаем   ;   .

Понятно, что условию задачи удовлетворяют все значения b, для которых не выполняется записанное выше условие.

Ответ: .

Литература:

  1. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами: Справочное пособие по математике. – Минск: Асар, 1996.
  2. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. – Киев: Евроиндекс, 1995.
  3. Куланин Е.Д., Норин В.П. и др. 3000 конкурсных задач по математики. – М.: Рольф, 2002.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *