Урок геометрии Различные способы решения стереометрических задач

  • Симакина Елена Анатольевна, учитель математики

Цель урока: создание условий для
формирования навыка решения стереометрических
задач различными способами.

Задачи урока:

  • способствовать развитию наглядно-образного
    мышления, внимания;
  • развивать умение высказывать собственные
    суждения, аргументировать свою точку зрения;
  • воспитывать умение планировать свою работу,
    искать рациональные пути решения задач.

ТСО: компьютер, мультимедийный проектор,
презентация к уроку (Приложение 1)

Комментарии: на уроке рассматриваются
задачи ЕГЭ типа “С2”, можно использовать данный
материал для организации итогового повторения.

Ход урока

I. Организационный момент.

Задачи части “С” Единого государственного
экзамена по стереометрии в последнее время
большей частью посвящены вычислению расстояний
и углов в пространстве. Такие задачи часто
встречаются в практике, поэтому им уделено
особое внимание. Рассмотрим разные методы
решения этих задач. (слайд 1)

II. Актуализация знаний.

  1. Что называется расстоянием от точки до прямой,
    между параллельными прямыми? (слайд 2)
  2. Что называется расстоянием от точки до
    плоскости? (слайд 6)

III. Тренировочные упражнения.

  1. Задача 1
  2. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1
    найти расстояние от точки D1 до прямой PQ, где
    P и Q – середины соответственно ребер A1B1
    и BC. (слайд 3)

    Решение.

    1 способ (поэтапно-вычислительный)

    Пусть D1H PQ, где HPQ, R — середина ребра AB. Найдем D1H.
    (слайд 4)

    Треугольник BRQ — прямоугольный, QR=

    Треугольник PQR — прямоугольный, PQ =

    ТреугольникDCQ — прямоугольный, DQ =

    Треугольник D1DQ- прямоугольный, D1Q =

    D1P = DQ =

    В треугольнике D1PQ по теореме косинусов ; ; .

    D1H= D1P

    D1H= = .

    Ответ: .

    2 способ (координатный).

    Учитель задает вопрос: Как еще можно найти
    длины сторон в треугольнике D1PQ?

    Рассмотрим прямоугольную систему координат с
    началом в точке А (слайд 5).

    Найдем координаты точек P(0; 0.5; 1), Q(0.5; 1;0), D1(1;0;1),
    тогда

    PQ = , D1Q=
    , D1P=

    Далее решение аналогично 1 способу. В
    треугольнике D1PQ по теореме косинусов ; ; .

    D1H= D1P

    D1H= = .

    Ответ: .

  3. Задача 2

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1
найдите расстояние от точки C1 до плоскости
AB1C. (слайд 7)

Решение.

1 способ (поэтапно-вычислительный) (слайд 8)

Так как прямая A1C1 параллельна АС, то
прямая A1C1 параллельна плоскости AB1C.
Поэтому искомое расстояние h равно
расстоянию от произвольной точки прямой A1C1
до плоскости AB1C. Например, расстояние от
центра О1 квадрата A1B1C1D1
до плоскости AB1C равно h.

Пусть Е – основание перпендикуляра, опущенного
из точки О1 на прямую В1О, где О –
центр квадрата ABCD. Прямая О1Е лежит в
плоскости ВВ1 D1 D, а прямая АС
перпендикулярна этой плоскости. Поэтому О1ЕАС и О1Е
– перпендикуляр к плоскости AB1C, а О1Е
= h.

Так как В1О1 =, О1О = 1, то ОВ1 = .

SДABC= О1Е
В1О=
В1О1 О1О
или h,
откуда h=.

Ответ: .

2 способ (метод объемов) (слайд 9)

Рассмотрим пирамиду С1В1АС и найдем
ее объем двумя способами.

V= SДACC1 В1О1= SДACB1 h; SДACC1=; В1О1
=; SДACB1=.

h=.

Ответ: .

3 способ (координатный)

Рассмотрим прямоугольную систему координат с
началом в точке С (слайд 10)

С(0;0;0), В1(1;0;1), А(1;1;0), С1(0;0;1). Составим
уравнение плоскости. Проходящей через точки А, С
и В1. Для этого подставим координаты этих
точек в общее уравнение плоскости Ax + By +Cz + D = 0.
Получим систему или

Отсюда находим уравнение Ax –Ay – Az = 0; x – y – z = 0

По формуле находим расстояние от С1 до
плоскости AB1C:

d =

Ответ: .

IV. Итог урока.

V. Домашнее задание.

  1. В тетраэдре ABCD, все ребра которого равны 1,
    найдите расстояние от точки А до прямой,
    проходящей через точку В и середину ребра CD.
  2. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF,
    стороны основания которой равны 1, а боковые
    ребра равны 2, найдите расстояние от точки С до
    прямой SF.
  3. В кубе ABCDA1B1C1D1, ребра
    которого равны 4, а точки E и F- середины ребер AB и B1C1
    соответственно, а точка P расположена на ребре CD
    так, что CP = 3PD. Найдите расстояние от точки A1
    до плоскости треугольника EPF.
  4. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD с
    вершиной P сторона основания равна 3, высота 2.
    Найдите расстояние от вершины А до грани PCD.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *